拉格朗日求极值的例题（拉格朗日 求极值）

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• 1、应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:f(x,y)=x^2+y^2,若x+y...
• 2、用拉格朗日乘数法求该条件极值的可疑极值点,并用无条件极值的方法确定...
• 3、高等数学多元函数求极值题目
• 4、如何用拉格朗日乘数法求极值问题?
• 5、怎么利用拉格朗日求极值?
• 6、高等数学拉格朗日乘数法求极值

应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:f(x,y)=x^2+y^2,若x+y...

s.t. g（x，y，z）=0 将一个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子建立极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个方程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题。

利用拉格朗日乘数法求出函数的一阶导数，然后令一阶导数为零，解出相应的x值，这些x值就是可能的极值点。再根据这些极值点附近函数值的正负，判断出函数的极大值点和极小值点。根据函数极值的定义，当函数在某点的导数为零，并且该点两侧的导数符号相反时，该点就是函数的极值点。

对于函数 z = x^2 + y^2 在条件 （x/a） + （y/b） = 1 下求极值，可以使用拉格朗日乘数法。首先，我们定义拉格朗日函数 L（x， y， λ） = x^2 + y^2 + λ（x/a） + （y/b） - 1）。其中，λ为拉格朗日乘子。

若从条件g（x，y）=0中可解出y=y（x），再带入z=f（x，y），则可化为无条件极值。（2）拉格朗日乘数法 例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。

方法（步骤）是：做拉格朗日函数L=f（x，y，z）+λφ（x，y，z），λ称拉格朗日乘数；求L分别对x，y，z，λ求偏导，得方程组，求出驻点P（x，y，z）；如果这个实际问题的最大或最小值存在，一般说来驻点只有一个，于是最值可求。

拉格朗日乘数法详细过程如下：拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。其详细过程如下：以一个二元函数为例，设函数f（x，y）在一定范围内连续且具有一阶连续偏导数，二元函数的极值问题可转化为在一组约束条件下的最优化问题。

用拉格朗日乘数法求该条件极值的可疑极值点,并用无条件极值的方法确定...

利用拉格朗日乘数法求出函数的一阶导数，然后令一阶导数为零，解出相应的x值，这些x值就是可能的极值点。再根据这些极值点附近函数值的正负，判断出函数的极大值点和极小值点。根据函数极值的定义，当函数在某点的导数为零，并且该点两侧的导数符号相反时，该点就是函数的极值点。

将求得的 x、y 和 λ 的值代入原始函数 z = x^2 + y^2 中，得到极值。请注意，根据条件 （x/a） + （y/b） = 1，可能存在极值点、鞍点或无极值点，需要通过计算得出确切结果。

若从条件g（x，y）=0中可解出y=y（x），再带入z=f（x，y），则可化为无条件极值。（2）拉格朗日乘数法 例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。

求多元函数的极值，主要有两种方法：无条件极值法和拉格朗日乘数法。无条件极值法 这种方法适用于没有约束条件的情况，即函数在整个定义域内求极值。具体操作为：首先对函数的每个自变量求偏导数，令偏导数为零，得到方程组fx（x，y）=0和fy（x，y）=0。

拉格朗日求极值的方法是一种求解多元函数极值的方法。它的基本思想是将原问题转化为等式约束下的问题，然后通过拉格朗日乘数法求解等式约束下的极值，再将这个极值代入原问题的等式约束中求解原问题的极值。

高等数学多元函数求极值题目

1、函数z=xy在适合附加条件下x+y=1下的极大值为1/4。解：令f（x，y）=z=xy，g（x，y）=x+y-1，F（x，y）=f（x，y）+ag（x，y）=xy+a（x+y-1）那么根据拉格朗日乘数法，可知要求z=xy的最大值，需先求F（x，y）的极值点。

2、z=xy=x（1-x）=x-x，变成一元函数求极值。

3、【方法一】作拉格朗日函数F（x，y，z，λ，μ）=x2+y2+z2+λ（x2+y2z）+μ（x+y+z4）.首先，求解其驻点。

如何用拉格朗日乘数法求极值问题?

在使用拉格朗日乘数法时，判断极大值或极小值的方法通常包括观察函数在一驻点两侧的一阶导数变化、检查函数的二阶导数等。以下是具体介绍：观察函数在一驻点两侧的一阶导数变化。如果一阶导数在某侧为正（递增）而在另一侧为负（递减），则该驻点为极小值；反之，则为极大值。

条件极值拉格朗日乘数法 该方法只是利用：如果一个函数可导，并且在某一点取极值，在这一点的导数必定为零。这只是一个必要条件，而不是充分条件。

总结：通常是将条件程转换为单值函数，再代待求极值的函数中，从将问题转化为条件极值问题进求解。拉格朗日乘数法没有在高中课本里出现，建议是用在不使用不等式的竞赛题、压轴小题，特别是实在没办法做的时候，才尝试一下。

拉格朗日乘数法 在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

条件极值拉格朗日乘数法步骤介绍如下：首先列出使用“拉格朗日求极值”的已知条件。然后列出拉格朗日辅助函数 。求出拉格朗日辅助函数对的偏导数，并使之为零。然后依据所有偏导数构成的方程组，解出唯一的驻点。最后即可完成拉格朗日求极值的过程，得出函数的极大值。

怎么利用拉格朗日求极值?

首先，我们定义拉格朗日函数 L（x， y， λ） = x^2 + y^2 + λ（x/a） + （y/b） - 1）。其中，λ为拉格朗日乘子。

在使用拉格朗日乘数法时，判断极大值或极小值的方法通常包括观察函数在一驻点两侧的一阶导数变化、检查函数的二阶导数等。以下是具体介绍：观察函数在一驻点两侧的一阶导数变化。如果一阶导数在某侧为正（递增）而在另一侧为负（递减），则该驻点为极小值；反之，则为极大值。

对于无约束条件的函数求极值，主要利用导数求解法 例如求解函数f（x，y）=x3-4x2+2xy-y2+1的极值。步骤如下：（1）求出f（x，y）的一阶偏导函数f’x（x，y），f’y（x，y）。f’x（x，y） = 3x2-8x+2y f’y（x，y） = 2x-2y （2）令f’x（x，y）=0，f’y（x，y）=0，解方程组。

首先列出使用“拉格朗日求极值”的已知条件；然后列出拉格朗日辅助函数F（x，y，z）；求出拉格朗日辅助函数F（x，y，z）对x、y、z的偏导数，并使之为零；然后依据所有偏导数构成的方程组，解出唯一的驻点；最后即可完成拉格朗日求极值的过程，得出函数的极大值（也是最大值）。

步骤如下：首先列出使用“拉格朗日求极值”的已知条件。然后列出拉格朗日辅助函数 。求出拉格朗日辅助函数对的偏导数，并使之为零。然后依据所有偏导数构成的方程组，解出唯一的驻点。最后即可完成拉格朗日求极值的过程，得出函数的极大值。

d（L）/d（x）=1+2λ=0 d（L）/d（y）=1+λy=0 d（L）/d（λ）=2x+y-5=0 很简单，是分别根据以x，y，λ为自变量对因变量L进行求一阶导数。

高等数学拉格朗日乘数法求极值

对于函数 z = x^2 + y^2 在条件 （x/a） + （y/b） = 1 下求极值，可以使用拉格朗日乘数法。首先，我们定义拉格朗日函数 L（x， y， λ） = x^2 + y^2 + λ（x/a） + （y/b） - 1）。其中，λ为拉格朗日乘子。

拉格朗日求极值的方法是一种求解多元函数极值的方法。它的基本思想是将原问题转化为等式约束下的问题，然后通过拉格朗日乘数法求解等式约束下的极值，再将这个极值代入原问题的等式约束中求解原问题的极值。

在使用拉格朗日乘数法时，判断极大值或极小值的方法通常包括观察函数在一驻点两侧的一阶导数变化、检查函数的二阶导数等。以下是具体介绍：观察函数在一驻点两侧的一阶导数变化。如果一阶导数在某侧为正（递增）而在另一侧为负（递减），则该驻点为极小值；反之，则为极大值。